摘要：
“DNA复制中原料消耗相关计算”是“DNA复制”一节中的教学难点之一。常见的教学思路是结合DNA半保留复制的原理采用不完全归纳法总结出的公式进行计算。本文介绍一种融合数学思想的等比数列求和的解题方法，并进行教学反思。
正文：
1 情景再现
在一节校内公开课(高一新授课)上，在学习了DNA复制，并绘制DNA半保留复制相关的示意图(图1)的基础上，教师提出问题： 假设某DNA分子含有腺嘌呤脱氧核苷酸m个，则理论上该DNA分子复制n次和第n次复制消耗腺嘌呤脱氧核苷酸的数目分别是多少？
图1 DNA半保留复制示意图
(注： 实线表示15N标记的脱氧核苷酸模板链，虚线表示以14N的脱氧核苷酸为原料合成的链)
部分学生的答案是： 根据DNA半保留复制的原理，采用不完全归纳法，该DNA分子经n次复制后共产生2n个子代DNA分子，但是有两条15N标记的脱氧核苷酸模板链没有消耗脱氧核苷酸原料，实际消耗原料的DNA分子数目是2n-1，因此复制n次实际消耗的腺嘌呤脱氧核苷酸数目为(2n-1)·m。而第n次DNA复制是在第n-1次基础上进行的，因此第n次DNA复制消耗的腺嘌呤脱氧核苷酸数目为[m(2n-1)-m(2n-1-1)]=2n-1·m。但大部分学生对此解法好像还不太理解。
突然有一位学生举手要求发言，他认为DNA复制n次消耗原料的计算可以用最近数学课上刚学的等比数列的求和公式解决。解题思路是： 根据DNA半保留复制的原理，这里的公比q是2，a1=m，a2=2m，a3=4m，an=2n-1m，则复制n次消耗的腺嘌呤脱氧核苷酸数目为Sn=m(1-2n)/(1-2)=(2n-1)m。
2 思路分析
笔者将该学生的方法整理后，过程如图2所示。
图2 复制n次产生的DNA数和第n次复制增加的DNA分子数
在一个等比数列中，a1为首项，q为等比数列的公比，则a2=a1·q，a3=a2·q=a1·q2，an=a1·qn-1，则Sn=a1(1-qn)/(1-q)。由图2分析可知，n次复制产生的新DNA分子数目正好构成的是一个等比数列，这里的a1=1，公比q=2，一共n项，每个DNA分子需要消耗腺嘌呤脱氧核苷酸m个，故第n次消耗的腺嘌呤脱氧核苷酸数目为2n-1·m，而复制n次消耗的腺嘌呤脱氧核苷酸数目则为上述n项的求和： Sn=a1m(1-qn)/(1-q)=(1-2n)m/(1-2)=(2n-1)m。
3 教学反思
在第二节课上，笔者先用不完全归纳法讲了一遍，依然有一部分学生感到困难。然后在另一块黑板上用等比数列求和的方法也讲了一遍，讲解还没结束，学生已经开始发出惊叹声，有些学生甚至鼓起掌来，原来他们更容易接受的是这种等比数列求和的解法。与此同时，我郑重地表扬了该生，感谢他为大家提供了这么新颖的方法。
课后反思： 为什么学生不容易接受那种不完全归纳的解法，却很容易接受这种等比数列求和的解法？通过和学生的交流，分析得知原因如下： ①学生对DNA复制理解不透彻。例如，图1中表示一个DNA分子的是一条线还是两条线? 每次复制过后上一代的DNA 分子是否还存在? DNA 复制消耗的原料是碱基还是脱氧核苷酸? 模板链是否需要消耗原料? ②等比数列求和的求解方法，清楚地展示了每一次DNA 复制增加的DNA 分子数目，可以直接得出第n 次DNA 复制消耗的原料数目，n 项的求和即表示在原先DNA 分子基础上增加的DNA 分子数之和，使学生很容易区分“第n 次复制”和“n 次复制”的差异。③相比较不完全归纳法而言，学生对数学课上刚学习过的等比数列求和更熟悉，运用也更自如。④教师没有把DNA 复制的相关核心知识点讲透彻是出现这种差异的根本原因。教学中的因循守旧，忽视了学生创新思维的培养。因此，在今后的教学中，不但要应用常规方法去讲透相关概念，更要引导更多的学生提出自己的新观点和新思路，注重培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。
